Numpy 线性代数

线性代数处理与线性方程及其矩阵表示相关的数学概念。

NumPy 为我们提供了执行常见线性代数任务的函数，例如数组乘法、求解线性方程组等。

NumPy 线性代数函数

以下是 NumPy 中用于执行线性代数任务的各种函数列表。

NumPy dot() 函数

我们可以使用 NumPy 线性代数模块中提供的 dot() 函数来计算两个数组的乘积。例如，

import numpy as np

array1 = np.array([1, 3, 5])
array2 = np.array([2, 4, 6])

# use of dot() to perform array multiplication
result = np.dot(array1, array2)

print(result)

# Output: 44

在此示例中，dot(array1, array2) 函数计算 array1 和 array2 的点积，即 1*2 + 3*4 + 5*6 = 44。

NumPy inner() 函数

在 NumPy 中，inner() 函数计算两个数组的内积，即它们对应元素的乘积之和。

让我们看一个使用 2D 数组的 inner() 示例。

import numpy as np

array1 = np.array([[1, 3], 
                   [5, 7]])
array2 = np.array([[2, 4], 
                   [6, 8]])

# inner() for 2D arrays
result = np.inner(array1, array2)

print(result)

输出

[[14 30]
 [38 86]]

在上面的示例中，inner() 首先将 2D 数组展平为 1D 数组，然后计算这些展平数组的内积。

生成的 2x2 矩阵是展平结果的重塑版本。

这里，内积计算如下：

1*2+3*4        1*6+3*8
5*2+7*4        5*6+7*8

注意： 对于 1D 数组，inner() 等同于 dot()。

NumPy outer() 函数

NumPy 中的 outer() 函数计算两个数组的外积，即它们所有可能元素对的乘积。

让我们看一个例子。

import numpy as np

array1 = np.array([1, 3, 5])
array2 = np.array([2, 4, 6])

# outer() to perform outer multiplication
result = np.outer(array1, array2)

print(result)

输出

[[ 2  4  6]
 [ 6 12 18]
 [10 20 30]]

这里，外积计算如下：

1*2      1*4       1*6        
3*2      3*4       3*6
5*2      5*4       5*6

NumPy det() 函数

在 NumPy 中，我们使用 NumPy linalg 模块中的 det() 函数来计算方阵的行列式。例如，

import numpy as np

# define a square matrix
array1 = np.array([[1, 3], 
                  [5, 7]])

# compute the determinant of array1
result = np.linalg.det(array1)


print(result)
 
# Output: -7.9999999

在这里，我们使用 linalg 模块中的 det() 函数来计算名为 array1 的方阵的行列式。

NumPy solve() 函数

在 NumPy 中，我们使用 solve() 函数来求解线性方程组。

对于给定的矩阵 A 和向量 b，solve(A, b) 找到满足方程 Ax = b 的解向量 x。

让我们看一个例子。

import numpy as np

# define the coefficient matrix A
A = np.array([[2, 4], 
             [6, 8]])

# define the constant vector b
b = np.array([5, 6])

# solve the system of linear equations Ax = b
x = np.linalg.solve(A, b)

print(x)

# Output: [-2.  2.25]

在此示例中，我们使用 linalg 模块中的 solve() 函数来求解线性方程组。

这里，输出是 [-2. 2.25]，这是线性方程组 2x + 4y = 5 和 6x + 8y = 6 的解。

注意：solve() 函数仅适用于方阵，并且假定矩阵 A 的行列式非零，否则 solve() 将引发 LinAlgError 异常。

NumPy inv() 函数

我们在 NumPy 中使用 linalg 模块中的 inv() 函数来查找方阵的逆。例如，

import numpy as np

# define a 2x2 matrix
array1 = np.array([[2, 4], 
                  [6, 8]])

# compute the inverse of the matrix
result = np.linalg.inv(array1)

print(result)

输出

[[-1.    0.5 ]
 [ 0.75 -0.25]]

在这里，我们使用 linalg.inv() 函数来计算 array1 矩阵的逆。

NumPy trace() 函数

在 NumPy 中，我们使用 trace() 函数来计算矩阵对角线元素的和。例如，

import numpy as np

# define a 3x3 matrix
array1 = np.array([[6, 3, 5], 
                   [9, 2, 1], 
                   [7, 8, 4]])

# compute the trace of the matrix
result = np.trace(array1)

print(result)

# Output: 12

在此示例中，矩阵的对角线元素为 6、2 和 4，因此这些元素的和为 12。因此，trace() 函数将此值作为输出返回。